\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[koi8-r]{inputenc}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{fullpage}
%\textwidth=17cm 
\pagestyle{empty} 
%\oddsidemargin =-30pt
%\topmargin=-30pt \textheight=1000pt
%
\newcommand\vhdef2
\newcommand{\hdef}[1]{{\renewcommand\vhdef2{\bfseries{#1}}\renewcommand\vhdef1}}
\newcommand{\class}[1]{{\ifnum\vhdef=2\mathbf{#1}\else\mathrm{#1}\fi}}
\newcommand{\co}{
\ifnum\vhdef=2\mathbf{co\,}\else\mathrm{co\hspace{2pt}}\fi
\ifnum\vhdef=2\textbf{-}\else\textrm{-}\fi
}
%
\newcommand{\lang}[1]{\mathtt{#1}}
\newcommand{\func}[1]{{\mathtt{\widetilde{#1}}}}
\newcommand{\funclass}[1]{{\class{\widetilde{#1}}}}
\newcommand{\SAT}{\lang{SAT}}
\newcommand{\BH}{\lang{BH}}
\newcommand{\sSAT}{\func{SAT}}
\newcommand{\sBH}{\func{BH}}
\newcommand{\MAJSAT}{\lang{MAJ}\mbox{\tt-}\lang{SAT}}
\newcommand{\QBF}{\lang{QBF}}
%
\newcommand{\Size}[1]{\class{Size}[#1]}
\newcommand{\DSpace}[1]{\class{DSpace}[#1]}
\newcommand{\NSpace}[1]{\class{NSpace}[#1]}
\newcommand{\DTime}[1]{\class{DTime}[#1]}
\newcommand{\RTime}[1]{\class{RTime}[#1]}
\newcommand{\UTime}[1]{\class{UTime}[#1]}
\newcommand{\OTime}[1]{\class{\oplus Time}[#1]}
\newcommand{\NTime}[1]{\class{NTime}[#1]}
\newcommand{\BPTime}[1]{\class{BPTime}[#1]}
\newcommand{\heurBPTime}[2]{\class{heur_{#1}\textbf{-}BPTime}[#2]}
\newcommand{\BQTime}[1]{\class{BQTime[#1]}}
%
\renewcommand{\P}{\class{P}}
\newcommand{\sP}{\funclass{P}}
\newcommand{\sharpP}{\class{\#P}}
\newcommand{\Ppoly}{\class{P}/\class{poly}}
\newcommand{\LOG}{\class{LOG}}
\newcommand{\ZPP}{\class{ZPP}}
\newcommand{\RP}{\class{RP}}
\newcommand{\coRP}{\class{{\co}RP}}
\newcommand{\UP}{\class{UP}}
\newcommand{\coUP}{\class{{\co}UP}}
\newcommand{\FewP}{\class{FewP}}
\newcommand{\coFewP}{\class{{\co}FewP}}
\newcommand{\Few}{\class{Few}}
%
\newcommand{\NP}{\class{NP}}
\newcommand{\coNP}{\class{{\co}NP}}
\newcommand{\sNP}{\funclass{NP}}
\newcommand{\SigmaP}[1]{\Sigma^{#1}\class{P}}
\newcommand{\NC}{\class{NC}}
%
\newcommand{\PiP}[1]{\Pi^{#1}\class{P}}
\newcommand{\DeltaP}[1]{\Delta^{#1}\class{P}}
\newcommand{\BPP}{\class{BPP}}
\newcommand{\EQP}{\class{EQP}}
\newcommand{\RQP}{\class{RQP}}
\newcommand{\BQP}{\class{BQP}}
\newcommand{\PH}{\class{PH}}
\newcommand{\PCP}{\class{PCP}}
%
\newcommand{\OP}{\class{\oplus P}}
\newcommand{\AWPP}{\class{AWPP}}
\newcommand{\PP}{\class{PP}}
\newcommand{\IP}{\class{IP}}
\newcommand{\PSPACE}{\class{PSPACE}}
%
\newcommand{\EXP}{\class{EXP}}
\newcommand{\MIP}{\class{MIP}}
\newcommand{\NEXP}{\class{NEXP}}
\newcommand{\coNEXP}{\class{{\co}NEXP}}
%
\newcommand{\BPO}{\class{BP}\cdot}
\newcommand{\OPO}{\class{OP}\cdot}
%
\newcommand{\PEXP}{\class{PEXP}}
\newcommand{\EXPSPACE}{\class{EXPSPACE}}
\newcommand{\MAEXP}{\class{MA}_\class{EXP}}
\newcommand{\MA}{\class{MA}}
\newcommand{\AM}{\class{AM}}
%
\newcommand{\vs}{=\!\!\!?\!\!\!\!=}
\newcommand{\Retc}{и\;т.\;д.}
\newcommand{\poly}{\mathrm{poly}}
%
%\newcommand{\ournote}[1]{\ref{?}\footnote{#1}}
%
\begin{document}

\begin{center}
\textbf{\large{Программа спецкурса \emph{``Теория сложности алгоритмов''}}}
\par \emph{(зима 2006/7 г., лектор Э.А.Гирш)}
\end{center}
\par \phantom{a} \par

\normalsize{

\begin{enumerate}
\item Массовая задача. Классы $\sP$, $\sNP$, $\P$, $\NP$.
Три определения недетерминированной машины Тьюринга.
Сведения по Левину, Карпу и Тьюрингу, полные и трудные языки.
Задача об ограниченной остановке ($\sBH$), ее $\sNP$-полнота.
Задачи $\SAT$, $\sSAT$.
\item Сведение задачи поиска к задаче распознавания для $\NP$-полных
языков. Оптимальный алгоритм Левина. Теорема о существовании $\NP$-полного
языка, не принадлежащего $\P$.
\item Редкие и унарные языки. Теоремы об NP-трудности унарных и co-NP-трудности
редких языков по Карпу.
\item Вычисления с оракулами. Операторы Шонинга.
Классы языков $\OP$, $\UP$, $\PP$, $\BPP$, $\RP$, $\SigmaP{k}$,
$\DeltaP{k}$, $\PSPACE$, $\co{}$классы.
Пример языка из $\RP$, для которого неизвестен
алгоритм из $\P$. Уменьшение вероятности ошибки в $\RP$ и $\BPP$.
Три определения полиномиальной иерархии и
необходимое и достаточное условие ее коллапса.
\item Определение языка $\QBF$ и его $\PSPACE$-полнота. 
\item Определения классов $\DSpace{f}$, $\NSpace{f}$, теоремы о замкнутости
относительно дополнения и о моделировании $\NSpace{f}$ при помощи $\DSpace{f}$.
\item Определение классов $\DTime{f}$ и $\NTime{f}$. Теоремы об иерархии для них и для $\DSpace{f}$.
\item Эвристические классы, доказательство теоремы об иерархии по
времени для $\heurBPTime{\delta}{n^k}$.
\item Булевы схемы и неравномерные вычисления.
Теоремы $\BPP\subseteq \Ppoly$ и
$\NP \subseteq \Ppoly \Rightarrow \PH = \SigmaP{2}$.
\item Интерактивные доказательства ($\IP$, $\MA$, $\AM$).
Примеры. Доказательство $\MA\subseteq\AM$, $\MA\subseteq\PP$.
\item Три определения класса $\ZPP$.
Доказательство $\BPP\subseteq \exists \bullet \BPP
\subseteq \NP^{\BPP} \subseteq \MA_2 = \MA \subseteq \ZPP^{\NP}
\subseteq \SigmaP{2} \bigcap \PiP{2}$.
\item $\NP \subseteq \BPP \Rightarrow \SigmaP{2} \subseteq \BPP$.
\item Теорема Шамира: $\IP=\PSPACE$.
\item Теорема Тода: $\PH\subseteq \P^{\sharpP}=\P^{\PP}$.
\item Класс $\sharpP$. Протокол LFKN. Доказательство
$\PP\not\subseteq\Size{n^k}$, $\SigmaP{2}\cap\PiP{2}\not\subseteq\Size{n^k}$.
Теорема Нечипорука.

\end{enumerate}
}

\end{document}
